حرکت هماهنگ ساده — از صفر تا صد
هنگامی که سیم یک گیتار را می‌کشیم، صدای حاصل از آن را در مدت زمان معینی به صورت مداوم می‌شنویم. در واقع، در این حالت سیم حول یک نقطه تعادل نوسان می‌کند. وقتی سیم از مکان اولیه شروع به حرکت می‌کند و به مکان دیگری می‌رود و دوباره به مکان اولیه‌اش بر می‌گردد، یک نوسان کامل صورت می‌گیرد. این حرکت که در فواصل زمانی منظم تکرار می‌شود را حرکت متناوب می‌نامند. در این آموزش، با حرکت هماهنگ ساده آشنا می‌شویم که نوعی حرکت تناوبی است.
دوره تناوب و فرکانس
هنگامی که اصطکاک نداریم، زمان انجام یک نوسان کامل ثابت باقی می‌ماند، این زمان را دوره تناوب ($$T$$) می‌نامیم. دوره تناوب معمولاً بر حسب ثانیه است، اما می‌تواند هر واحد زمانی مناسب دیگری هم داشته باشد.
مفهوم دیگری که با دوره تناوب ارتباط نزدیکی دارد، فرکانس یک رویداد است. فرکانس ($$f$$) برابر با تعداد رویدادها در واحد زمان است که برای حرکت تناوبی معادل تعداد نوسان‌ها در واحد زمان خواهد بود. رابطه بین فرکانس و دوره تناوب به این صورت است:
واحد فرکانس در SI هرتز ($$\mathrm$$) و برابر با یک دور در ثانیه است.
ویژگی‌های حرکت هماهنگ ساده
حرکت هماهنگ ساده (Simple Harmonic Motion) یک نوع حرکت تناوبی است. همچنین، سیستمی که با حرکت هماهنگ ساده نوسان می‌کند، نوسانگر هماهنگ ساده می‌نامند.
جسمی به جرم $$m$$ را در نظر بگیرید که مطابق شکل ۱ به یک فنر متصل شده است و روی یک سطح بدون اصطکاک قرار دارد. این جسم حول نقطه تعادل نوسان می‌کند و نیروی خالص روی جسم، برابر با نیروی ایجاد شده توسط فنر است. این نیرو از قانون هوک تبعیت می‌کند و برابر با $$F_s = -k x $$ است.
اگر نیروی خالص توسط قانون انرژی نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده هوک تعریف شود و میرایی (کندی به علت اصطکاک یا سایر نیروهای ناپایستار) نداشته باشیم، آن‌گاه نوسانگر هماهنگ ساده، همانگونه که در شکل زیر نشان داده شده است، با جابه‌جایی یکسان در هر دو طرف نقطه تعادل نوسان می‌کند. بیشینه جابه‌جایی از نقطه تعادل را دامنه ($$A$$) می‌نامند. واحد دامنه مانند واحد جابه‌جایی است و به نوع نوسان بستگی دارد. برای یک جسم متصل به فنر، واحد دامنه و جابه‌جایی متر است.
- (الف) جسم تا نقطه $$x = A $$ جابه‌جا و از حالت سکون رها می‌شود.
- (ب) جسم در جهت منفی $$ x $$ شتاب می‌گیرد و در $$ x = 0 $$ به سرعت بیشینه منفی می‌رسد.
- (پ) جسم در جهت منفی $$ x $$ به حرکت خود ادامه می‌دهد تا زمانی که در $$ x = – A $$ متوقف شود.
- (ت) اکنون جسم در جهت مثبت $$ x $$ شروع به شتاب گرفتن می‌کند و در $$ x=0 $$ به سرعت بیشینه مثبت می‌رسد.
- (ث) جسم در جهت مثبت $$ x $$ به حرکت خود ادامه می‌دهد تا زمانی که در $$ x = A $$ متوقف شود.
در حرکت هماهنگ ساده، دوره تناوب و فرکانس یک نوسانگر مستقل از دامنه است. برای مثال، هنگامی که سیم یک گیتار را چه به آرامی و چه به سرعت می‌کشیم، با فرکانس یکسان نوسان می‌کند.
دوره تناوب نوسانگر هماهنگ ساده به دو عامل جرم و سفتی سیستم بستگی دارد: 1) سیستمی که سنگین‌تر است، دوره تناوب طولانی‌تری دارد. برای مثال، روی تخته شیرجه، فردی که وزن بیشتری دارد نسبت به فردی که وزن کمتری دارد، کندتر بالا و پایین می‌پرد. 2) یک جسم خیلی سفت ثابت نیروی ($$k$$) بزرگتری دارد و باعث می‌شود سیستم دوره تناوب کوتاه‌تری داشته باشد. برای مثال، تخته شیرجه‌ای را در نظر بگیرید که می‌توان سفتی آن را تنظیم کرد. اگر تخته سفت‌تر باشد، سریع‌تر نوسان می‌کند و دوره تناوب آن کوتاه‌تر خواهد بود. در حقیقت، جرم $$m$$ و ثابت نیروی $$k$$ تنها عواملی هستند که روی دوره تناوب و فرکانس حرکت هماهنگ ساده تأثیر می‌گذارند. برای به دست آوردن یک رابطه برای دوره تناوب و فرکانس، ابتدا باید معادلات حرکت را تعیین و تحلیل کنیم. توجه داشته باشید که منظور از ثابت نیرو همان ثابت فنر است.
معادلات حرکت هماهنگ ساده
یک جسم متصل به فنر را روی یک میز بدون اصطکاک در نظر بگیرید. موقعیت تعادل (حالتی که فنر نه کشیده می‌شود و نه فشرده) را به صورت $$ x = 0 $$ نشان می‌دهیم. در حالت تعادل، نیروی خالص صفر است.
برای کشیدن جسم تا نقطه $$ x = + A $$ باید روی جسم کار انجام شود. پس از اینکه جسم در نقطه $$ x = + A $$ قرار گرفت، از حالت سکون رها می‌شود. در این حالت، جسم بین $$ x = + A $$ و $$ x = – A $$ شروع به نوسان می‌کند. شکل زیر حرکت این جسم را در مدت زمان $$ t = 1 \frac < 1 > < 2 >T $$ نشان می‌دهد.
نمودار مکان-زمان این جسم یک تابع کسینوسی با دامنه $$A$$ و دوره تناوب $$T$$ را نشان می‌دهد. تابع کسینوس در هر مضربی از $$2 \pi$$ تکرار می‌شود، در حالی که حرکت جسم در هر دوره تناوب $$T$$ تکراری است. اما تابع $$ \cos \left(\dfrac t \right)$$ در هر مضرب صحیحی از دوره تناوب تکرار می‌شود. بیشینه تابع کسینوس برابر با یک است. بنابراین، لازم است دامنه $$A$$ را در تابع کسینوسی ضرب کنیم:
$$ \large x ( t ) = A \cos \left ( \dfrac < 2 \pi > < T >t \right ) = A \cos ( \omega t ) \ldotp $$
فرکانس زاویه‌ای، برابر با $$\omega = \frac$$ است؛ اما در این‌جا چون دوره تناوب ثابت است، فرکانس زاویه‌ای به صورت $$\omega = \frac$$ تعریف می‌شود.
معادله مکان به صورت تابعی از زمان و برابر با $$x(t) = A\cos( \omega t)$$ است. جسم در زمان اولیه $$t = 0 \, \mathrm $$ در مکان $$x = A$$ قرار دارد و سرعت اولیه نیز صفر است. هنگام به دست آوردن داده‌های تجربی، مکان جسم در زمان اولیه $$t = 0 \, \mathrm $$ s اغلب برابر با دامنه نیست و سرعت اولیه نیز صفر نیست. شکل زیر نمودار داده‌هایی را نشان می‌دهد که توسط یک دانشجو در مدت $$10$$ ثانیه جمع‌آوری شده است.
داده‌های این شکل را نیز می‌توان با یک تابع متناوب مشابه یک تابع کسینوسی مدل‌سازی کرد، اما این تابع نسبت به تابع کسینوس اندکی به سمت راست جابه‌جا شده است. این جابه‌جایی به عنوان تغییر فاز شناخته شده و معمولاً با نماد $$\phi$$ نشان داده می‌شود. بنابراین، معادله مکان جسم متصل به فنر به صورت تابعی از زمان به صورت زیر خواهد بود:
$$ \large x(t) = A \cos (\omega t + \phi) \ldotp $$
این معادله تعمیم یافته برای حرکت هماهنگ ساده است که در آن، $$t$$ زمان اندازه‌گیری شده بر حسب ثانیه، $$\omega$$ فرکانس زاویه‌ای بر حسب معکوس ثانیه، $$A$$ دامنه اندازه‌گیری شده بر حسب متر یا سانتی‌متر و $$\phi$$ اختلاف فاز اندازه‌گیری شده بر حسب رادیان است.
سرعت جسم متصل به فنر در حال نوسان در حرکت هماهنگ ساده را می‌توان با مشتق گرفتن از تابع مکان به دست آورد:
$$ \large \begin v ( t ) & = \frac < d x > < d t >= \frac < d > < d t >( A \cos ( \omega t + \phi ) )\\ & = – A \omega \sin ( \omega t + \varphi ) = – v _ < max >\sin ( \omega t + \phi ) \ldotp \end $$
از آن‌جایی که تابع سینوسی بین $$ – 1 $$ و $$ +1 $$ نوسان می کند، سرعت بیشینه برابر با دامنه در فرکانس زاویه‌ای ($$v _ = A \omega$$) است. هنگامی که جسم در حال حرکت به سمت $$x = + A $$ است، سرعت بیشینه ($$ v _ $$) در نقطه تعادل ($$ x = 0 $$) اتفاق می‌افتد و وقتی که جسم در حال حرکت به سمت $$ x = – A $$ است، در نقطه تعادل انرژی نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده $$ x = 0 $$ سرعت بیشینه در جهت منفی ($$-v _$$) به دست می‌آید.
شتاب جسم متصل به فنر را می‌توان با مشتق گرفتن از سرعت نسبت به زمان به دست آورد:
$$ \large \begin
a ( t ) & = \frac < d v > < d t >= \frac < d > < d t >( – A \omega \sin ( \omega t + \phi ) ) \\ & = – A \omega ^ < 2 >\cos ( \omega t + \varphi ) = – a _ \cos ( \omega t + \phi ) \ldotp
\end $$
شتاب بیشینه در مکان $$ x = + A $$ برابر با $$a _ = A \omega ^ 2 $$ و در مکان $$ x = – A$$ برابر با $$ انرژی نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده – a _ $$ است. بنابراین، معادلات حرکت هماهنگ ساده برای یک جسم متصل به فنر در حال نوسان به صورت زیر خواهد بود:
$$ \large \begin x ( t ) & = A \cos ( \omega t + \phi ) \\ v ( t ) & = – v _ \sin ( \omega t + \phi ) \\ a ( t ) & = – a _ \cos ( \omega t + \phi ) \end $$
$$ \large \begin x _ & = A \\[5pt] v _ & = A \omega \\[5pt] a _ & = A \omega ^ < 2 >\ldotp \end $$
جسمی به جرم $$ 2 \, \mathrm $$ روی سطح بدون اصطکاکی قرار گرفته است. یک طرف فنری با ثابت نیروی $$ k = 32 \, \mathrm $$ را که می‌تواند فشرده یا کشیده شود، به جسم و انتهای دیگر آن را به دیوار وصل می‌کنیم. مکان تعادل در نقطه $$x = 0 $$ قرار دارد. با کشیدن جسم تا نقطه $$ x = + 0.02 \, \mathrm $$، روی این جسم کار انجام می‌شود. اگر این جسم را از حالت سکون رها کنیم، بین $$ x = + 0.02 \, \mathrm $$ و $$ x = – 0.02 \, \mathrm $$ نوسان می‌کند. دوره تناوب این حرکت $$ 1.57 \, \mathrm $$ است. معادلات حرکت این جسم را تعیین کنید.
حل: ابتدا فرکانس زاویه‌ای را محاسبه می‌کنیم:
$$ \large \omega = \frac < 2 \pi > < 1 . 5 7 \; s >= 4 . 0 0 \; s ^ < – 1 >$$
اکنون می‌توانیم سرعت و شتاب بیشینه را به دست آوریم:
$$ \large \begin v _ & = A \omega = ( 0 . 0 2 \; m) ( 4 . 0 0 \; s ^ < – 1 >) = 0 . 0 8 \; m / s; \\ a _ & = A \omega ^ < 2 >= ( 0 . 0 2 \; m ) ( 4 . 0 0 \; s ^ < – 1 >) ^ < 2 >= 0 . 3 2 \; m / s ^ < 2 >\ldotp \end $$
از آن‌جایی که جسم در نقطه $$ x = A = + 0 . 0 2 \; \mathrm $$ از حالت سکون رها می‌شود، اختلاف فاز صفر است. بنابراین، داریم:
$$ \large \begin x ( t ) & = a \cos ( \omega t + \phi ) = ( 0 . 0 2 \; m ) \cos ( 4 . 0 0 \; s ^ < – 1 >t ) ; \\ v ( t ) & = – v _ \sin ( \omega t + \phi ) = ( – 0 . 8 \; m / s ) \sin ( 4 . 0 0 \; s ^ < – 1 >t ) ; \\ a ( t ) & = – a _ \cos ( \omega t + \phi ) = ( – 0 . 3 2 \; m / s ^ < 2 >) \cos ( 4 . 0 0 \; s ^ < – 1 >t ) \ldotp \end $$
دوره تناوب و فرکانس دستگاه جرم-فنر
ویژگی جالب حرکت هماهنگ ساده یک جسم متصل به فنر این است که فرکانس زاویه‌ای و در نتیجه، دوره تناوب و فرکانس حرکت فقط به جرم و ثابت نیرو بستگی دارد. برای یافتن روابط فرکانس زاویه‌ای، فرکانس و دوره تناوب، از معادلات حرکت و قانون دوم نیوتن ($$\overrightarrow_ = m \overrightarrow$$) استفاده می‌کنیم.
جسمی را در نظر بگیرید که به فنر متصل شده است و روی یک سطح بدون اصطکاک قرار دارد. سه نیرو بر این جسم وارد می‌شود: نیروی وزن، نیروی عمودی تکیه‌گاه و نیروی ناشی از فنر. همچنین، فقط دو نیروی عمود بر سطح داریم: نیروی وزن و نیروی عمودی تکیه‌گاه که بزرگی یکسان و جهت‌های مخالف دارند و از این رو، جمع آن‌ها برابر با صفر است. تنها نیرویی که موازی با سطح است، نیروی ناشی از فنر است. بنابراین، نیروی خالص باید برابر با نیروی فنر باشد:
با جایگذاری معادلات حرکت $$x$$ و $$a$$ داریم:
$$ \large – A \omega ^ < 2 >\cos ( \omega t + \phi ) = – \frac < k > < m >A \cos ( \omega t +\phi ) \ldotp $$
با حذف جملات مشابه در طرفین معادله، خواهیم داشت:
همانگونه که می‌بینیم، فرکانس زاویه‌ای فقط به جرم و ثابت نیرو وابسته است. از آن‌جایی که $$\omega = \frac$$ است، می‌توان دوره تناوب را نیز بر حسب $$m$$ و $$k$$ نوشت:
این رابطه نشان می‌دهد که هرچه جرم بزرگتر باشد، دوره تناوب طولانی‌تر و هرچه فنر سفت‌تر باشد، دوره تناوب کوتاه‌تر است. فرکانس دستگاه جرم-فنر نیز برابر است با:
حرکت قائم و فنر افقی
هنگامی که فنر به صورت عمودی آویخته می‌شود و جسمی را به آن وصل می‌کنیم، جرم شروع به حرکت کرده و جسم به صورت حرکت هماهنگ ساده نوسان می‌کند. در این حالت، نیروی عمودی تکیه‌گاه وجود ندارد و نیروی گرانش روی تغییر نقطه تعادل تأثیر می‌گذارد شکل زیر را در نظر بگیرید که در آن، دو نیرو به جسم وارد می‌شود: نیروی وزن و نیروی فنر. نیروی وزن ثابت است، ولی نیروی فنر به دلیل تغییر طول فنر تغییر می‌کند.
- (الف) فنر از سقف آویخته می‌شود. در این‌جا، نقطه تعادل را با $$ y_0$$ نشان می‌دهیم.
- (ب) جسمی را به فنر وصل می‌کنیم. هنگامی که نیروی ایجادشده توسط فنر برابر با وزن جسم است، نقطه تعادل جدیدی به دست می‌آید ($$ y _1 = y _0 – \Delta y $$).
- (انرژی نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده پ) طبق نمودار جسم آزاد، دو نیرو به جسم وارد می‌شود: نیروی وزن و نیروی فنر.
همانگونه که در شکل دیده می‌شود، هنگامی که جسم به وضع تعادل می‌رسد، نیروی فنر برابر با وزن جسم است ($$ F _ = F_s-mg = 0$$) که در این‌جا:
$$ \large – k ( – \Delta y ) = m g \ldotp $$
طبق شکل تغییر طول فنر برابر با $$ \Delta y = y _0 – y_1$$ است و از آن‌جایی که $$k \Delta y = mg $$ است، داریم:
$$ \large k ( y _ < 0 >– y _ < 1 >) – m g = 0 \ldotp $$
اگر جسم را جابه‌جا و سپس رها کنیم، حول نقطه تعادل جدیدی نوسان خواهد کرد. همانه‌گونه که در شکل زیر نشان داده شده است، اگر مکان جسم به صورت تابعی از زمان نوشته شود، تابع حاصل یک تابع متناوب خواهد بود.
در صورتی که جسم را تا نقطه $$y$$ جابه‌جا کنیم (فنر فشرده شود)، نیروی خالص برابر است با انرژی نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده $$ F_ < n e t >= – k ( y – y _ 0 ) – m g $$. اما در نقطه تعادل، $$ m g = k \Delta y = k y _ 0 – k y _ 1 $$ است؛ بنابراین، نیروی خالص را می‌توان به صورت زیر نوشت:
$$ \large F _ < n e t >= k y – k y _ < 0 >– ( k y _ < 0 >– k y _ < 1 >) = – k ( y – y _ < 1 >) \ldotp $$
که $$y_1$$ نقطه تعادل است و می‌توان آن را برابر با $$ y = 0$$ قرار داد. بنابراین، نیروی خالص برابر است با:
$$ \large \begin F _ & = – k y ; \\ m \frac < d ^ < 2 >y > < d t ^ < 2 >> & = – k y \ldotp \end $$
این درست همان چیزی است که برای جسم متصل به فنر در حالت افقی به دست آوردیم. در این‌جا نیروی گرانش صرفاً برای تغییر مکان تعادل جسم به کار رفت. بنابراین، جواب این معادله و در نتیجه معادلات مربوط به سرعت و شتاب باید با جواب حالت افقی یکسان باشند:
$$ \large \begin x ( t ) & = A \cos ( \omega t + \phi ) \\ v ( t ) & = – v _ \sin ( \omega t + \phi ) \\ a ( t ) & = – a _ \cos ( \omega t + \phi ) \end $$
اگر این مطلب برایتان مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
انرژی نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده
برای محاسبه انرژی نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده، انرژی سامانه جرم- فنر را بررسی می کنیم. در سامانه جرم-فنر، وقتی فنری کشیده یا فشرده شود، انرژی پتانسیل کشسانی در آن ذخیره می شود. به صورتی که با افزایش جابجایی از نقطه تعادل، این انرژی افزایش می یابد. بنابر این انرژی پتانسیل سامانه جرم-فنر در نقاط بازگشتی بیشینه و در نقطه تعادل (x=0) ، کمینه است.
با افزایش جابجایی از نقطه تعادل، سرعت کاهش می یابد و انرژی جنبشی کم می شود یعنی در نقاط بازگشتی، سرعت و انرژی جنبشی صفر می شوند. بیشینه سرعت و انرژی جنبشی در نقطه تعادل است.
انرژی مکانیکی نوسانگر
انرژی مکانیکی این سیستم برابر با مجموع انرژی پتانسیل و جنبشی آن است و چون سطوح بی اصطکاک هستند، انرژی مکانیکی پایسته است. بنابر این مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل در هر نقطه از مسیر برابر است یعنی با افزایش انرژی جنبشی، انرژی پتانسیل کاهش می یابد و برعکس. نمودار زیر تبدیل انرژی جنبشی به پتانسیل در سیستم جرم و فنر را نمایش می دهد:
انرژی مکانیکی سیستم جرم و فنر به صورت زیر است:
بنابر این انرژی مکانیکی حرکت هماهنگ ساده متناسب با مجذور دامنه A 2 و مجذور بسامد f 2 است.
تندی بیشینه نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده
الف)نشان دهید تندی بیشینه در حرکت هماهنگ ساده برابر است با Aω.
ب)تندی نوسانگر هماهنگ ساده ای که با دامنه 10cm و دوره ۰٫۵۰s نوسان می کند، هنگام عبور از نقطه تعادل چقدر است؟
الف) چون انرژی مکانیکی که برابر با مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل فنر است، همواره ثابت است و چون هر دو عبارت جنبشی و پتانسیل ،بزرگتر و یا برابر با صفر هستند، پس زمانی انرژی جنبشی و سرعت بیشینه می شود که انرژی پتانسیل فنر صفر شود یعنی زمانی که نوسانگر از نقطه تعادل عبور می کند بنابر این:
ب) در ابتدا رابطه بین تندی و مکان نوسانگر را به صورت زیر حساب می کنیم.
اگر چه می دانیم در نقطه تعادل تندی بیشینه است، اما اگر در رابطه بالا ، x=0 قرار دهیم هم به همان رابطه می رسیم.
مثال هایی از انرژی نوسانگر
دامنه نوسان وزنه ای که به یک فنر با ثابت فنر 75N/mمتصل است و در راستای افقی نوسان می کند، برابر با ۸cm است. اگر انرژی پتانسیل این نوسانگر در نقطه ای از مسیر نوسان، ۸×۱۰ -۲ J باشد، انرژی جنبشی آن در این مکان چقدر است؟
انرژی مکانیکی نوسانگر برابر است با:
معادله حرکت هماهنگ ساده یک نوسانگر در SIبه صورت زیر است.
الف)در چه زمانی، پس از لحظه صفر، برای نخستین بار تندی نوسانگر به بیشترین مقدار خود می رسد؟
ب) در چه زمانی، پس از لحظه صفر، برای نخستین بار تندی نوسانگر به صفر می رسد؟
ج) تندی نوسانگر چقدر باشد تا انرژی جنبشی نوسانگر برابر با انرژی پتانسیل آن شود؟
الف) در نقطه ی تعادل یعنی x=0 ، بیشینه سرعت اتفاق می افتد بنابر این:
ب) زمانی که سرعت نوسانگر صفر می شود، انرژی جنبشی نوسانگر صفر است. بنابر این انرژی پتانسیل بیشینه است . یعنی بیشترین فاصله از نقطه تعادل. بنابر این:
ج) انرژی جنبشی برابر با انرژی پتانسیل است یعنی:
جسمی به جرم ۱۰۰ گرم به فنری متصل است و روی سطح افقی بدون اصطکاک، حرکت هماهنگ ساده انجام می دهد. اگر بیشینه انرژی جنبشی جسم ۰٫۸ میلی ژول باشد، لحظه ای که انرژی پتانسیل جسم ۰٫۴ میلی ژول است، سرعت نوسانگر چند سانتی متر بر ثانیه است؟
ویدیو آموزشی انرژی نوسانگر
به ویدیو آموزشی زیر در مورد این مبحث که توسط استاد مصطفی کبیری تهیه شده است، حتما توجه کنید.
تمرین ها
تمرین ۱:جسمی به جرم ۱kg به فنری افقی با ثابت ۶N/cm متصل است. فنر به اندازه ۹cm کشیده و سپس رها می شود و جسم روی سطح افقی شروع به نوسان می کند. با چشم پوشی از اصطکاک :
الف)دامنه نوسان و تندی بیشینه جسم چقدر است؟
ب)وقتی تندی جسم ۱٫۶m/s است، انرژی پتانسیل کشسانی آن چقدر است؟
تمرین ۲: نوسانگری به جرم ۱۰۰ گرم، روی پاره خطی به طول ۲۰cm حرکت هماهنگ ساده انجام می دهد و در مدت یک چهارم ثانیه از مرکز نوسان به انتهای مسیر می رسد. انرژی جنبشی نوسانگر در مرکز نوسان، چند میلی ژول است؟ (π ۲ =۱۰)
تمرین ۳: شکل روبرو نمودار مکان-زمان دو نوسانگر A و B را نشان می دهد. اگر جرم نوسانگر B ، پنج برابر جرم نوسانگر A باشد، انرژی مکانیکی نوسانگر A چند برابر انرژی مکانیکی نوسانگر B است؟
تمرین ۴: نمودار انرژی پتانسیل کشسانی یک نوسانگر ساده مطابق شکل رو به رو است. در لحظه t=0.1s، انرژی جنبشی نوسانگر چند ژول است؟ (برای پایه دوازدهم مناسب نیست.)
تمرین ۵: نمودار انرژی پتانسیل-مکان نوسانگری به جرم ۴۰۰g مطابق شکل است. دوره حرکت نوسانگر چند ثانیه است؟ (π ۲ =۱۰)
فیلم جلسه 72 - فصل سوم: نوسان و موج (قسمت چهاردهم)، انرژی در حرکت هماهنگ ساده (قسمت دوم)
در این جلسه می‌خوایم سؤالات بیشتری رو در رابطه با انرژی هماهنگ ساده حل کنیم، پیشنهاد می‌کنم یه مروری از جلسه قبل داشته باشید، سؤالاتی که تو این جلسه حل می‌کنیم خیلی سخت نیستن، پس مثل همیشه دست به قلم باشید و قبل از من حلشون کنید.
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت اول)، شناخت حرکت، تندی متوسط، سرعت متوسط (قسمت اول)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت دوم)، شناخت حرکت، تندی متوسط، سرعت متوسط (قسمت دوم)
فصل اول: حرکت بر خط راست(قسمت سوم)تحلیل بیشتر معادله و نمودار مکان زمان، تندی لحظه ای و سرعت لحظه ای
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت چهارم)، حل سؤال از معادله و نمودار مکان- زمان و انرژی نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده سرعت- زمان (قسمت اول)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت پنجم)، حل سؤال از معادله و نمودار مکان- زمان و سرعت- زمان (قسمت دوم)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت ششم)، حل سؤال از معادله و نمودار مکان- زمان و سرعت- زمان (قسمت سوم)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت هفتم)، شتاب متوسط و شتاب لحظه ای
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت هشتم)، حرکت با سرعت ثابت (قسمت اول)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت نهم)، حرکت با سرعت ثابت (قسمت دوم)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت دهم)، بررسی حرکت دو متحرک با سرعت ثابت (قسمت اول)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت یازدهم)، بررسی حرکت دو متحرک با سرعت ثابت (قسمت دوم)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت دوازدهم) حرکت با شتاب ثابت (قسمت اول)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت سیزدهم)، حرکت با شتاب ثابت (قسمت دوم)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت چهاردهم)، حرکت با شتاب ثابت (قسمت سوم)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت پانزدهم)، حرکت با شتاب ثابت (قسمت چهارم)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت شانزدهم)، حرکت با شتاب ثابت (قسمت پنجم)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت هفدهم)، حرکت با شتاب ثابت (قسمت ششم)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت هجدهم)، حرکت با شتاب ثابت (قسمت هفتم)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت نوزدهم)، حرکت با شتاب ثابت (قسمت هشتم)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت بیستم)، حرکت با شتاب ثابت (قسمت نهم)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت انرژی نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده بیست و یکم)، حرکت با شتاب ثابت (قسمت دهم)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت بیست و دوم)، حرکت دو متحرک با شتاب ثابت (قسمت اول)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت بیست و سوم)،حرکت دو متحرک با شتاب ثابت (قسمت دوم)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت بیست و چهارم)، حرکت دو متحرک با شتاب ثابت (قسمت سوم)
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت بیست و پنجم)، سقوط آزاد (قسمت اول) ویژه رشته ریاضی
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت بیست و ششم)، سقوط آزاد (قسمت دوم) ویژه رشته ریاضی
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت بیست و هفتم)، سقوط آزاد (قسمت سوم) ویژه رشته ریاضی
فصل اول: حرکت بر خط راست (قسمت بیست و هشتم)، سقوط آزاد (قسمت چهارم) ویژه رشته ریاضی
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت اول)، قانون های حرکت نیوتن (قسمت اول)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت دوم)، قانون های حرکت نیوتن (قسمت دوم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت سوم)، قانون های حرکت نیوتن (قسمت سوم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت چهارم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت پنجم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت ششم)، مسائل آسانسور (قسمت اول)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت هفتم)، مسائل آسانسور (قسمت دوم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت هشتم)، نیروی اصطکاک (قسمت اول)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت نهم)، نیروی اصطکاک (قسمت دوم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت دهم)، نیروی اصطکاک (قسمت سوم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت یازدهم)، نیروی اصطکاک (قسمت چهارم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت دوازدهم)، نیروی اصطکاک (قسمت پنجم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت سیزدهم)، نیروی اصطکاک (قسمت ششم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت چهاردهم)، نیروی کشسانی فنر(قسمت اول)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت پانزدهم)، نیروی کشسانی فنر(قسمت دوم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت شانزدهم)، نیروی کشش طناب
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت هفدهم)، تکانه و قانون دوم انرژی (قسمت اول)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت هجدهم)، تکانه و قانون دوم انرژی (قسمت دوم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت نوزدهم)، تکانه و قانون دوم نیوتون (قسمت سوم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت بیستم)، تکانه و قانون دوم نیوتون (قسمت چهارم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت بیست یکم)، تکانه و قانون دوم نیوتون (قسمت پنجم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت بیست و دوم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت بیست و سوم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت بیست و چهارم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت بیست و پنجم) حرکت دایره ای یکنواخت ویژۀ رشتۀ ریاضی
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت بیست و ششم)، نیروی گرانشی ( قسمت اول )
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت بیست و هفتم)، نیروی گرانشی (قسمت دوم)
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت بیست و هشتم)، نیروی گرانشی (قسمت سوم)، ویژه رشته ریاضی
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت بیست و نهم)، نیروی گرانشی (قسمت چهارم)، ویژه رشته ریاضی
فصل دوم: دینامیک و حرکت دایره ای (قسمت سی ام)، جلسه تکمیلی فصل دوم
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت اول)، مقدمات نوسان، نوسان دوره ای، حرکت هماهنگ ساده (قسمت اول)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت دوم)، حرکت هماهنگ ساده (قسمت دوم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت سوم)، حرکت هماهنگ ساده (قسمت سوم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت چهارم،) حرکت هماهنگ ساده (قسمت چهارم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت پنجم)، حرکت هماهنگ ساده (قسمت پنجم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت ششم) ،حرکت هماهنگ ساده (قسمت ششم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت هفتم)، حرکت هماهنگ ساده (قسمت هفتم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت هشتم)، حرکت هماهنگ ساده (قسمت هشتم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت نهم)، حرکت هماهنگ ساده (قسمت نهم) انرژی نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت دهم)، حرکت هماهنگ ساده (قسمت دهم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت یازدهم)، حرکت هماهنگ ساده (قسمت یازدهم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت دوازدهم)، حرکت هماهنگ ساده (قسمت دوازدهم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت سیزدهم)، انرژی در حرکت هماهنگ ساده (قسمت اول) انرژی نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت چهاردهم)، انرژی در حرکت هماهنگ ساده (قسمت دوم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت پانزدهم)، انرژی در حرکت هماهنگ ساده (قسمت سوم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت شانزدهم)، انرژی در حرکت هماهنگ ساده (قسمت چهارم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت هفدهم)، انرژی در حرکت هماهنگ ساده (قسمت پنجم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت هجدهم)، تشدید (قسمت اول)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت نوزدهم)، تشدید (قسمت دوم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت بیستم)، موج و انواع آن، مشخّصه‌های موج (قسمت اول)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت بیست و یکم)، موج و انواع آن، مشخّصه‌های موج (قسمت دوم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت بیست و دوم)، موج و انواع آن، مشخّصه‌های موج (قسمت سوم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت بیست و سوم)، موج و انواع آن، مشخّصه‌های موج (قسمت چهارم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت بیست و چهارم)، انرژی نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده موج و انواع آن، مشخّصه‌های موج (قسمت پنجم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت بیست و پنجم)، موج و انواع آن، مشخّصه‌های موج (قسمت ششم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت بیست و ششم)، موج و انواع آن، مشخّصه‌های موج (قسمت هفتم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت بیست و هفتم) موج و انواع آن، مشخّصه‌های موج (قسمت هشتم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت بیست و هشتم)، تندی انتشار موج عرضی (قسمت اول)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت بیست و نهم)، تندی انتشار موج عرضی (قسمت دوم)
فصل سوم: نوسان و موج (قسمت سی‌ام)، تندی انتشار موج عرضی (قسمت سوم)
دانلود از طریق اپلیکیشن آلاء
با نصب اپ اندروید آلا، می توانید این فیلم را دانلود نمایید.
راه ابریشم آلا، شاهراه کنکور 1402
استفاده از زمان کوب
آلاء پنجره ای است رو به دور نمای آموزش کشور که می کوشد با اساتید کار بلد و مخاطبان پر تعداد و متعهد خود آموزش همگانی را در چهار گوشه ی این سرزمین در دسترس فرزندان ایران قرار دهد.
خدمات اصلی آموزش در آلاء کاملا رایگان بوده و درآمد خدمات جانبی آن صرف برپا نگه داشتن و دوام این مجموعه عام المنفعه می شود. محصولات ما پیش تر با نام های آلاء و تخته خاک در اختیار مخاطبان قرار می گرفت که برای سهولت در مدیریت و دسترسی کاربران اکنون انحصارا با نام آلاء منتشر می شود.
دبیرستان دانشگاه صنعتی شریف در سال 1383 تاسیس و زیر نظر دانشگاه صنعتی شریف فعالیت خود را آغاز کرد. فعالیت های آموزشی آلاء با نظارت دبیرستان دانشگاه شریف انجام می شود.
انرژی نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده
وزنه اي به جرم 50gr به فنري باثابت 20N/m بسته شده ودرراستاي قائم بادامنه 4cm حركت نوساني ساده انجام مي دهد .
الف)بيشينه سرعت وشتاب نوسانگرراتعيين كنيد.
ب)درلحظه اي كه نوسانگردرموقعيت 3cm قراردارد،سرعت آن چقدراست؟
پ)درلحظه اي كه سرعت نوسانگر 0.3m/s است،شتاب آن چقدراست؟
توجه كنيدهنگامي كه نوسانگردريك طرف مركزنوسان حركت رفت وبركشت انجام مي دهيد،سرعت آن دريك نقطه يك مقدار معين اما با دو علامت مختلف مي تواند داشته باشد.علامت مثبت براي هنگامي كه درجهت مثبت محور x حركت مي كند و علامت منفي براي موقعي كه درجهت -x حركت مي كند.
علامت منفي براي هنگامي است كه نوسانگر در بعد مثبت قراردارد و علامت مثبت براي وقتي كه نوسانگر در بعد منفي است.
س:انرژي مكانيكي نوسانگر(دستگاه جرم-فنر)چگونه محاسبه مي شود؟
ازفيزيك 2مي دانيم انرژي پتانسيل كشساني ذخيره شده دريك فنر برابر است با:
بنابراين درحركت نوساني ساده دستگاه وزنه-فنرمعادله انرژي پتانسيل كشساني ذخيره شده درفنر(يادروزنه)برابرخواهدبودبا:
بادرنظرگرفتن k=m w 2 نيزخواهيم داشت:
براي انرژي جنبشي نوسانگر نيزمي توان نوشت:
انرژي مكانيكي نوسانگربرابرمجموع انرژي هاي پتانسيل وجنبشي آن است.نتيجه مي شود:
رابطه بالانشان مي دهدهرچند انرژي هاي جنبشي وپتانسيل نوسانگر برحسب زمان ومكان تغييركند،اماانرژي مكانيكي نوسانگرمستقل از زمان ومكان است و مقدارآن ثابت مي باشد.
تذكر1:
رابطه نشان مي دهد انرژي مكانيكي نوسانگر متناسب است با:جرم نوسانگر،مجذور بسامد زاويه اي (يامجذوربسامد) نوسانگر و مجذور دامنه نوسان.
2-اگر چه ما انرژي مكانيكي رابراي نوسانگر وزنه-فنر محاسبه كرديم،ولي مي توان نشان داد كه براي هر نوع نوسانگر ساده ديگري نيز انرژي مكانيكي بامجذور دامنه و مجذور بسامد متناسب است.
نمونه سوال
1- معادله انرژی جنبشی – مکان یک نوسانگر که حرکت هماهنگ ساده انجام می دهد، در به انرژی نوسانگر در حرکت هماهنگ ساده صورت است. دامنه حرکت نوسانگر چند سانتی متر است؟
2- جسمی مقابل یک آینه ی کروی روی محور اصلی قرار دارد و تصویری ۳ برابر طول جسم روی پرده تشکیل شده است. اگر جسم ۳۰ سانتی متر روی محور اصلی جابه جا شود، تصویری به همان طول تصویر اول تشکیل می شود. شعاع آینه چند سانتی متر است؟
3- متحرکی از حال سکون از مبدأ مختصات با شتاب ثابت به حرکت در می‌آید. بردار مکان آن در لحظه کدام است؟ (کمیت‌ها در است.)
4- نمودار سرعت – زمان دو متحرک A و B که روی محور x حرکت می‌کنند، مطابق شکل زیر است. در مدتی که متحرک A در جهت محور x حرکت کرده است، بزرگی جابه‌جایی متحرک B، چند متر است؟
5- دو گلوله A و B با سرعت‌های اولیه مطابق شکل زیر، هم‌زمان پرتاب می‌شوند. از لحظه پرتاب تا لحظه‌ای که دو گلوله از کنار هم عبور می‌کنند، جابه‌جایی گلوله A چند برابر بزرگی جابه‌جایی گلوله B است؟ (از مقاومت هوا صرف‌نظر شود.)
دیدگاه شما