چگونه نقاط محوری را محاسبه کنیم؟

بنابراین با آگاهی از اندازه دو ضلع از این مثلث می‌توان اندازه ضلع سوم را با رابطه فیثاغورس به دست آورد. با توجه به آن چه بیان کردیم، اندازه ضلع s در مخروط‌های قائم با فرمول زیر به دست می‌آید: شکل زیر را در نظر بگیرید:

تفسیر نوار قلب (ECG یا EKG)

برای شروع با مفاهیم پایه‌ای ECG آغاز می‌کنیم. و به بررسی اینکه چگونه می‌توان ECG را ثبت کرد و فیزیولوژی پایه قلب خواهیم پرداخت.

برای گرفتن چگونه نقاط محوری را محاسبه کنیم؟ چگونه نقاط محوری را محاسبه کنیم؟ ECG بصورت ۱۲ لید، نیاز به ۱۰ الکترود است (بعضی اوقات به الکترود، لید می‌گویند که ما برای پیشگیری از سردرگمی از همان لفظ الکترود استفاده می‌کنیم).

توجه! به یاد داشته باشید تفسیر نوارقلب کار تخصصی است و باید توسط پزشکان متخصص انجام شود. این مقاله نیز صرفا برای مطالعه کادر درمان ، پزشکان و دانشجویان پزشکی تهیه شده است.

اما اگر شما بیمار عزیز راجع به نوارقلب خود یا اطرافیان تان به تفسیر و تحلیل نیاز دارید، روی لینک پایین کلیک کنید تا با یکی از پزشکان متخصص مجموعه نبض آوا، ارتباط بگیرید و به راحتی و در کمترین زمان مشاوره پزشکی دریافت کنید.

هر لید را می‌توان عکسی از فعالیت الکتریکی قلب تصور کرد. ۱۲ لید داریم که از ۱۲ زاویه مختلف با کمک اطلاعات ۱۰ الکترود ثبت می‌شوند. الکترودها شامل ۴ الکترود اندامی و ۶ الکترود قفسه سینه ای است.

وقتی فعالیت الکتریکی(یا دپولاریزاسیون) به سمت یک لید می‌رود، انحنای آن مثبت می‌شود و وقتی فعالیت چگونه نقاط محوری را محاسبه کنیم؟ الکتریکی از یک لید دور می‌شود انحنای آن منفی می‌شود و اگر عمود به آن حرکت کند کمپلکس ایزوالکتریک خواهد بود (مثل موج R و S در V4 که به یک اندازه هستند و می‌توانید در شکل 3 ببینید)

نواحی قلب در ECG یا نوارقلب

نواحی مرتبط با هر لید از نوار قلب طور خلاصه در ذیل آورده شده است:

• V1, V2 = RV (نشانگر بطن راست)
• V3, V4 = septum (نشانگر سپتوم)
• V5, V6 = L side of the heart (نشانگر سمت چپ قلب)
• Lead I = L side of the heart (نشانگر سمت چپ قلب)
• Lead II = inferior territory (نشانگر ناحیه تحتانی)
• Lead III = inferior territory (نشانگر ناحیه تحتانی)
• aVF = inferior territory (remember ‘F’ for ‘feet’) (نشانگر ناحیه تحتانی)
• aVL = L side of the heart (نشانگر سمت چپ قلب)
• aVR = R side of the heart (نشانگر سمت راست قلب)

به طور معمول و حالت استاندارد کاغذ با سرعت ۲۵ میلی متر بر ثانیه حرکت می‌کند و هر مربع بزرگ معادل ۰.۲ ثانیه و هر مربع کوچک معادل ۰.۰۴ ثانیه است.

اجزای ECG (موج ها و فاصله ها)

نوار قلب را می‌توان به اجزای مجزایی تقسیم کرد برای این کار به لید 2 نگاه کنید (شکل 4 را ببینید).

هر بخش نوار قلب چه چیزی را نشان می‌دهد؟

مدت نرمال برای هر قطعه از نوار قلب:

• فاصله PR: بین ۰.۱۲ تا ۰.۲ ثانیه (۳-۵ مربع کوچک)
• QRS: کمتر از 0.12 ثانیه(۳ مربع کوچک)
• QTc: بین ۰.۳۸ تا ۰.۴۲ ثانیه

چگونه نوار قلب را بخوانیم؟ (خواندن ECG / EKG)

سیستم های مختلفی برای تفسیر ECG وجود دارد. این سیستم که ما به بررسی آن می‌پردازیم به شما کمک می‌کند که نکته‌ای را جا نیندازید:

1. اطلاعات بیمار
2. زمان، علت و موقعیت انجام ECG
3. اندازه گیری ضربان قلب در ECG(rate)
4. بررسی ریتم بر روی ECG(rhytm)
5. بررسی محور بر روی ECG(axis)
6. بررسی موج p و فاصله pr (P-wave & PR interval)
7. بررسی موج Q و کمپلکس QRS ( (Q-wave & QRS complex
8. بررسی بخش ST (ST segment)
9. بررسی فاصله QT (QT interval)
10. بررسی موج T (T-wave)

حال اجزای فوق را با جزئیات بیشتری بررسی می‌کنیم.

۱. اطلاعات بیمار

شامل: نام بیمار، تاریخ تولد (برای اطلاع از سن بیمار) و شماره پرونده و تخت بیمار، بخش و محل بیمار

این اطلاعات در دپارتمان اورژانس که پزشکان روزانه با ECG های متعددی رو به رو می‌شوند اهمیت بسیار دارد چراکه به تفسیر مناسب ECG کمک می‌کند و در صورت نیاز به انتقال به بخش های دیگر اقدامات لازم به درستی و راحت تر انجام می‌گیرد.

۲. زمان، علت و موقعیت انجام ECG

• چه زمانی نوار قلب گرفته شده است؟
• اگر چند سری نوار گرفته می‌شود باید نوار قلب شماره گذاری شود
• اگر نگران تغییرات دینامیک در نوار قلب هستیم بهتر است که چند سری نوار قلب درخواست کنیم. (عموماً سه نوار قلب با فاصله ۱۰ دقیقه) تا بتوان آنها را مقایسه کرد. در این موارد باید آنها را با به صورت ۱ ،۲ و ۳ نامگذاری کنیم.
• آیا بیمار هنگام انجام ECG درد قفسه سینه دارد(chest pain)؟ این علامت یا هر علامت یا نکته بالینی مرتبطی را باید ذکر کنیم. به عنوان مثال اگر به دنبال هایپرکالمی درخواست ECG داریم باید بر روی نوار به سطح پتاسیم اشاره کنیم.

۳. اندازه گیری ضربان قلب (rate) در ECG

ضربان قلب را به روش های مختلفی می‌توان از نوار محاسبه کرد:

راه اول: تعداد QRS ها را بر روی یکی از خطوط ECG (به طور معمول لید ۲) بشمارید و ضربدر ۶ کنید.

راه دوم: تعداد مربع‌های بزرگ بین دو موج R بشمارید و ۳۰۰ را تقسیم بر آن کنید.(یا می‌توانید ۱۵۰۰ را تقسیم بر مربع‌های کوچک بین دو موج R کنید).

اگر بیمار دچار فیبریلاسیون دهلیزی (atrial fibrillation) است، بهتر است به جای یک عدد یک بازه را به عنوان ضربان قلب گزارش کنیم.

۴. بررسی ریتم بر روی ECG(rhytm)

ریتم ضربان منظم است یا نامظم؟ اگر ریتم نامظم است این بی نظمی به صورت منظم اتفاق میافتد یا خیر؟

بررسی ریتم قلبی در برادی‌کاردی و تاکی‌کاردی دشوار است و در این موارد "تست کاغذ" به کمک می‌آید. برای اینکار باید یک کاغذ بر روی نوار قلب گذاشته و بر نوک دو کمپلکس QRS متوالی نقطه‌گذاری کنید. حال فاصله بین دو کمپلکس QRS را داریم و این فاصله باید در بخش های مختلف نوار قلب یکسان باشد تا آن نوار قلب ریتم منظم داشته باشد.

۵. بررسی محور بر روی ECG(axis)

محور(axis) قلب، به مجموع همه فعالیت‌های الکتریکی قلب می‌گوییم.

انقباض قلب از دهلیز آغاز و سپس به بطن‌های راست و چپ می‌رود. از آنجایی که بطن چپ بزرگ‌تر و عضلانی‌تر است، محور نرمال مقداری به سمت چپ است (۳۰- تا ۹۰+ درجه است – مطابق شکل 5)

• به عنوان یک قانون کلی اگر انحنا(Deflection) در لید ۱ و avf مثبت باشد، محور قلب نرمال است.
• اگر لید ۱ انحنای منفی داشته باشد و لید avf مثبت باشد محور قلب انحراف به راست دارد که به آن right axis deviation یا RAD می‌گویند.
• اگر لید ۱ انحنای مثبت داشته باشد و لید avf منفی باشد محور قلب انحراف به چپ دارد که به آن left axis deviation یا LAD می‌گویند.

اگر بخواهیم با دقت بیشتری محور قلب را محاسبه کنیم می‌توانیم از روش زیر استفاده کنیم:

تعدا مربع‌های کوچک که معادل انحنای مثبت یا منفی در لید avf است را شمرده و به آن مقدار بر روی محور avf با نقطه علامت گذاری می‌کنیم.(مطابق شکل 5) به ازای هر مربع کوچک یک میلی متر در جهت انحنا علامت گذاری می‌کنیم. به عنوان مثال برای انحنای منفی x میلی متر به سمت بالا یا برای انحنای مثبت x میلی متر به سمت پایین علامت‌گذاری می‌کنیم.

سپس همین کار را برای لید ۱ انجام می‌دهیم و در راستای آن لید علامت‌گذاری می‌کنیم. به عنوان مثال x میلی‌متر به سمت راست برای انحنای مثبت حرکت می‌کنیم یا x میلی‌متر به سمت چپ برای انحنای منفی حرکت می‌کنیم.

حال با مشخص شدن مختصات محور قلب در راستای عمودی (محور avf) و افقی (محور لید ۱) می‌توان مختصات محور قلب را مشخص کرد. که آن مختصات را به مرکز نمودار وصل می‌کنیم. خط که کشیده می‌شود به ما محور قلب را نشان خواهد داد.

علل انحراف محور قلبی

علل انحراف محور قلبی

LAD انحراف به چپ	RAD انحراف به راست
در کودکان و بزرگان لاغرو جوان نرمال است	اگر دیافراگم‌ها بال آمده باشند می‌تواند نرمال باشد (به عنوان مثال در آسیت و یا حاملگی)
در هایپرتروفی بطن راست (RVH)	در هایپرتروفی بطن چپ که به آن LVF یا left ventricular hypertrophy می‌گویند
بیماری های تنفسی	Left anterior hemiblock
امبولی پولمونر (Pulmonary embolism یا PE)	Inferior myocardial infaction
انفارکتوس میوکارد (Anterolateral myocardial infarction)	هایپرکالمی
Left posterior hemiblock (rare)	Vertricular tachycardia (VT)
Septal defect	Paced rhythm

۶. بررسی موج P و فاصله PR (P-wave و PR interval)

آیا می‌توانید موج P را ببینید؟

اگر ریتم قلبی به صورت فیبریلاسیون دهلیزی، فلاتر دهلیزی یا تاکی کاردی جانکشنال (junctional tachycardia) باشد ممکن است نتوانید ببینید.

آیا موج P با کمپلکس QRS همراهی دارد؟

اگر چگونه نقاط محوری را محاسبه کنیم؟ موج P با QRS همراهی نداشته باشد نشان از بلوک کامل قلبی است.

بررسی مورفولوژی موج P

در بعضی کیس ها ممکن است فرورفته یا دو تکه شده باشد (notched or bifid) که شبیه حرف M است و به اسم P Mitral نیز شناخته می‌شود و نشان از هایپرتروفی دهلیز راست است(ناشی از تنگی دریچه میترال یا سایر علل).

در بعضی کیس های دیگر ممکن است موج P بلند و نوک تیز باشد که به آن P pulmonate نیز می‌گویند چگونه نقاط محوری را محاسبه کنیم؟ و نشان از هایپرتروفی دهلیز چپ می‌باشد (عموماً به علت تنگی تریکاسپید و یا هایپرتانسیون پولمونر) همچنین مشابه این موج ممکن است در هیپوکالمی دیده شود که به آن pseudo p-pulmonale می‌گویند.

فاصله PR ممکن است در سندرم هایی مثل Wolff Parkinson White syndrome به علت پیدایش مسیرهای فرعی هدایتی کوتاه شود.

۷. بررسی موج Q و کمپلکس QRS (Q-WAVE و QRS complex)

موج Q

موج Q عبارت است از انحنای رو به پایین ابتدایی، در کمپلکس QRS. که در لیدهای سمت چپ قفسه سینه نرمال است (لید 1 و لید avl و لید V4 و V5)، چراکه این لیدها دپولاریزاسیون سپتال از چپ به راست را نشان می‌دهند.

موج نرمال Q، کمتر از 0.04 ثانیه و کمتر از 2mm عمق دارد. اگر از این موارد بزرگ تر باشد یا در سایر لیدها دیده شود پاتولوژیک است.

کمپلکس QRS

پهنای موج QRS:

عموماً مدت آن کمتر از ۰.۱۲ ثانیه (۳ مربع کوچک است)

علل کمپلکس QRS پهن تر شامل:

• بلوک باندل های شاخه ای(LBBB or RBBB)
• هایپرکالمی
• Paced rhythm
• Ventricular pre-excitation (e.g. Wolf Parkinson White)
• Ventricular rhythm
• Tricyclic antidepressant (TCA) poisoning

شکل و ارتفاع موج QRS:

QRS می‌تواند در شرایطی مثل افیوژن پریکارد، BMI بالا، آمفیزم، کاردیومیوپاتی و آمیلیوئید قلبی کوچک (کم ولتاژ) باشد

QRS در LVH یا هایپرتروفی بطن چپ بلند است.

اگر مجموع ارتفاع موج R در لید V6 و موج S در لید V1 بزرگتر از ۳۵ میلی متر باشد نشان دهنده LVH (هایپرتروفی بطن چپ) است

QRS همچنین می‌تواند در افراد لاغر و جوان نیز بلند باشد.

۸. بررسی قطعه ST (ST segment)

قطعه ST می‌تواند نرمال، elevated یا depressed باشد. به بیان بهتر قطعه ST باید بیش از یک میلی متر در 2 لید اندامی متوالی یا بیش از دو میلی‌متر در دو لید قفسه سینه ای متوالی، elevated یا depressed باشد تا به آن elevation یا depression بگوییم.

به دنبال تغییرات دوطرفه (reciprocal) قطعه ST نیز بگردید.

ST Elevation نشان از افارکتوس است.

ST depression عموماً شان از ایسکمی است همچنین ممکن است در مسمومیت دیگوکسین (digoxin toxicity) به صورت نزولی دیده شود که به آن reverse tick می‌گویند.

ST صعودی

ST صعودی، شبیه ST elevation است که به آن benign early repolarization نیز می‌گویند. عموماً در افراد جوان سالم در لیدهای V2 V3 V4 V5 دیده می‌شود و بی خطر است.

بهترین راه افتراق آن از انفاکتوس موکارد موارد زیر است:

• مقعر بودن آن
• اینکه در لیدهای V2-V5 باشد
• تغییرات دوطرفه ندارند
• در طی زمان تغییر نمی‌کنند
• وجود J-POINT

۹. بررسی فاصله QT (QT interval)

فاصله QT زمان ما بین آغاز موج Q تا پایان موج T است.

فاصله QT به نسبت ضربان قلب اصلاح می‌شود که به آن QTc می‌گویند.

برای یک بررسی سریع، اگر موج T پس از نیمه راه بین دو کمپلکس QRS متوالی باشد QTc طولانی شده است.

این روش خیلی دقیق نیست اما سریع است.

فاصله QT طولانی برای بیماران که در شرح حال آنها از دست دادن موقت هوشیاری یا غش کردن و سنکوپ دارند اهمیت بالایی دارد.

علل QT طولانی

علل QT طولانی

داروها	Tricyclic antidepressants (TCAs) Terfenadine Erythromycin Amiodarone Phenothiazines Quinidine
متابولیک	Hypothermia Hypokalaemia Hypocalcaemia Hypothyroidism
خانوادگی	Long QT syndrome Brugada syndrome Arrhythmogenic RV dysplasia
سایر	IHD Myocarditis

۱۰. بررسی موج T (T-wave)

موج T ممکن است به علل مختلفی صاف یا معکوس شود از جمله:

• انواع نرمال: در avr و v1 و v2 و v3 ممکن است دیده شود.
• ایسکمی
• هایپرتروفی بطبی در لیدهای جانبی
• LBBB موجب معکوس شدن موج T در لیدهای قدامی جانبی می‌شود
• دیگوکسین
• هیپوکالمی موجب صاف شدن موج T می‌شود

تغییرات کلاسیک در هایپرکالمی عبارت اند از:

• موج P کوچک
• موج T قله دار و نوک تیز
• QRS پهن
• نکته:پهن شدن QRS نشان از سمیت قلبی شدید است

خلاصه

با دنبال کردن ۱۰ مرحله فوق برای تفسیر ECG، شما نکته‌ی مهمی را از قلم نمی‌اندازید و یک روش نظام مند برای تفسیر آن را به همراه خواهید داشت. پس این مراحل را ابتدا بخونید و سپس تمرین کنید تا بر آن مسلط شوید.

مطالب این مقاله توسط توسط عرفان زمانی دانشجوی پزشکی دانشگاه علوم پزشکی تهران تهیه و مرور شده است.

بردار و مختصات

حتی اگر به صورت خط راست حرکت نکنید. خط راست جهت داری که ابتدا و انتهای مسیر را به هم وصل می کند . نشان دهنده بردار جابجایی می باشد.
در ریاضی به پاره خط جهت دار بردار می گوییم.
یاداوری: پاره خط ، خطی است که دو سر آن بسته باشد. در نتیجه طول آن محدود است.

شباهت و تفاوت مختصات بردار و مختصات نقطه

مختصات یک نقطه چگونه مشخص می شود؟

برای مشخص کردن موقعیت یک نقطه در صفحه باید بدانیم چه موقعیت افقی و عمودی در صفحه دارد.
برای مولفه افقی یا طول یک نقطه باید ببینیم نقطه داده شده، چند واحد در سمت راست یا چپ مبدا قرار گرفته است.

اگر در سمت چپ بود. علامت مولفه افقی منفی می شود.
برای مولفه عمودی یا عرض یک نقطه باید ببینیم نقطه داده شده، چند واحد در سمت بالا یا پایین مبدا قرار گرفته است.

اگر نقطه پایین تر از مبدا بود. علامت مولفه عمودی یا همان عرض نقطه منفی است.
پس برای مشخص شدن مختصات یک نقطه موقعیت آن را نسبت به مبدا مختصات باید بدانیم. طول نقطه در بالا و عرض نقطه در پایین کروشه ای که برای بیان مختصات استفاده می شود؛ قرار می گیرد.

مختصات یک بردار چگونه به دست می آید؟

در بیان مختصات بردار ما به ابتدای آن توجه می کنیم. میزان حرکت افقی و عمودی نسبت به ابتدای آن نشان دهنده مختصات بردار است. مثلا اگر نسبت به ابتدای آن، دو واحد به سمت راست و سه واحد به سمت پایین حرکت کرده باشیم . طول بردار ۲ و عرض آن ۳- خواهد بود.

آیا مفهوم مختصات را به خوبی متوجه شده اید؟

برای اینکه مطمئن شویم مفهوم مختصات بردار و مختصات نقطه را به خوبی درک کرده اید. برداری را رسم کنید که در ناحیه چهارم دستگاه مختصات بوده و طول آن سه و عرض آن یک باشد.
برخی دانش آموزان می گویند در ناحیه چهارم که عرض منفی است. پس چگونه برداری با عرض منفی در این ناحیه رسم کنیم؟
پاسخ شما به این دوستان چیست؟
پاسخ فقط در یک نکته ساده نهفته است. مختصات بردار نسبت به ابتدای آن تعیین می شود نه مبدا مختصات.

مختصات بردار – بردای با عرض مثبت در ناحیه چهارم

ویژگی های بردارهای مساوی چیست؟

دو بردار که راستا، جهت و اندازه آنها برابر باشد با هم مساوی اند.

تفاوت راستا و جهت در چیست؟

برای درک بهتر این تفاوت اجازه دهید مثالی بزنیم. بردار افقی را در نظر بگیرید که پیکان سر آن به سمت راست باشد. افقی بودن راستای آن است. نوک پیکان که از چپ به راست است ؛ جهت آن را نشان می دهد.
در سال نهم می آموزید که راستا همان شیب خط است؛ که به زاویه خط با محور افقی ارتباط دارد. اگر زاویه بین خط و محور افقی در مورد هر دو خط یکسان باشد. آن دو خط باهم موازی هستند.

چه زمانی بردارها هم راستا یا موازی هستند؟

به بردارهایی که هم راستا هستند موازی گفته می شود. تعریف ساده تر این است که اگر بردارها را امتداد دهیم. هیچ گاه همدیگر را قطع نمی کنند. (مگر اینکه کاملا بتوانند همدیگر را پوشش دهند).

بردارهای مساوی و قرینه نمونه ای از بردارهای موازی هستند.

بیان اول) اگر دو بردار به ازای هر یک واحدی که در راستای طول حرکت می شود، به یک مقدار در راستای عرض حرکت را نشان دهند دو بردار هم راستا هستند.
بیان دوم) اگر نسبت عرض به طول دو بردار با هم مساوی باشد. آن دو هم راستا یا موازی هستند.
بیان سوم) اگر نسبت طول دو بردار با نسبت عرض دو بردار برابر باشد. آنها موازی هستند.

ویژگی های بردارهای قرینه

دو برداری قرینه یکدیگرند که هم راستا و هم اندازه باشند. ولی جهت هایشان عکس یکدیگر باشد. در شکل بالا سه جفت بردار قرینه دیده می شود.

دقت دارید که در قرینه بودن دو بردار ، حتما دو بردار موازی هم هستند. اندازه آن ها یکسان است. فقط جهت آن ها متفاوت است.
طول و عرض دو بردار که با هم قرینه هستند ، قرینه یکدیگر است.

بیان حرکت های جهت دار – روش ساده یافتن مختصات بردار حرکت (جابجایی)

برای به دست آوردن مختصات بردار کافی است انتهای آن را منهای ابتدای آن کنید.
زمانی که شما با یک شکل مواجه هستید. یا به شما چند حرکت جهت دار را می دهند. مختصات حرکت را از روی شکل می توانید به دست آورید. برای این کار دوگام زیر را بردارید.

ببینید چقدر انتهای آن نسبت به ابتدایش در سمت راست یا چپ قرار گرفته است. این مقدار مختصه طول آن را نشان می دهد.

میزان بالا یا پایین تر قرار گرفتن انتها نسبت به ابتدای بردارمولفه عرض آن را بیان می کند.
مثلا اگر سه واحد به سمت راست و دو واحد بالا رفته باشیم. طول سه و عرض آن دو خواهد بود.

ضرب عدد در بردار

از ضرب یک عدد غیر صفر در یک بردار، برداری به دست می آید که با اولی همراستا (موازی) است.
اگر عدد ضرب شده مثبت باشد، دو بردار هم جهت هستند. در غیر این صورت جهتشان مخالف هم است.
در ضرب عدد در بردار دقت کنید که این عدد هم در طول و هم در عرض ضرب می شود.

بردارهای واحد طول و عرض i و j و نیمسازهای نواحی مختصات

بردار i به عنوان بردار واحد طول و بردار j به عنوان بردار واحد عرض شناخته می شود.
منظور از بردار واحد ، برداری است که اندازه آن یک واحد است.
اگر ۲i-۴j داشته باشیم. یعنی طول آن ۲ و عرضش ۴- است.
اگر یکی از مولفه های i یا j وجود نداشته باشد. به ترتیب یعنی طول یا عرض آن صفر است. مثلا ۲i برداری است به طول ۲ و عرض صفر که موازی محور طول ها می باشد.
نکته: گاهی به جای “بردار واحد” از عبارت “بردار یکه” استفاده می شود.

بردارهای موازی محورهای مختصات

نکته: بردارهای موازی محورهای مختصات حتما دارای یک مولفه طولی یا عرضی برابر صفر هستند.

(موازی محور طول ها هستند. اگر عرض آن ها صفر باشد و موازی محور عرض ها هستند اگر طول آن ها صفر باشد.)
در نیمساز ناحیه اول و سوم طول و عرض با هم برابر هستند.

در نیمساز ناحیه دوم و چهارم طول و عرض قرینه هم می باشند.
مثال) اگر نقطه ای به طول x-۳ و عرض ۲x+۵ روی نیمساز ناحیه دوم و چهارم قرار داشته باشد. مختصات آن را بیابید.
راهنمایی: با توجه به این که در نیمساز ناحیه دوم و چهارم طول و عرض هر نقطه قرینه همدیگر هستند. کافی است طول را برابر قرینه عرض قرار دهید. سپس معادله به دست آمده را حل کنید.

نحوه محاسبه مساحت مخروط همراه با مثال های کاربردی

یکی از اشکال هندسی سه بعدی مخروط است که با برخی ویژگی‌ها و تعریف آن در مطلب محاسبه حجم مخروط آشنا شدیم. در این مطلب قصد داریم تا با جزئیات بیشتری به تعریف مخروط پرداخته، با برخی ویژگی‌ها و انواع مخروط آشنا شویم. در ادامه نحوه محاسبه مساحت مخروط را با استفاده از چند مثال کاربردی آموزش خواهیم داد.

با رایاد تا انتهای این مقاله همراه باشید.

مخروط و ویژگی‌های آن

مخروط به یکی از گونه‌های هرم گفته می‌شود که قاعده آن دایره‌ای است. مخروط‌ها اشکال هندسی ۳ بُعدی هستند که از سطح مقطع مخروط به آرامی یا به سرعت (بسته به سطح قاعده و ارتفاع مخروط) تا راس مخروط باریک می‌شوند.

در تعریف جزئی‌تر می‌توان گفت که مخروط شکل هندسی سه بُعدی است که توسط یک صفحه پایه یا همان سطح مقطع مخروط محدود شده و سطح جانبی آن نیز مکان هندسی خطوط راستی هستند که نوک مخروط را به نقاط پیرامون سطح مقطع متصل می‌کنند.

توجه داشته باشید که هم رویه این شکل هندسی توپر و هم رویه پهلویی آن هر دو شکل هندسی مخروط به شمار می‌آیند.

ویژگی های مخروط

• راس مخروط همان نقطه انتهایی آن است.
• سطح مسطح مخروط قاعده آن نامیده می‌شود.
• مخروط دارای یک پایه مسطح است.
• مخروط دارای یک وجه منحنی شکل است.
• مخروط دارای یک سطح منحنی است و به همین دلیل چندوجهی محسوب نمی‌شود.
• مخروط نوعی مثلث است که از چرخاندن این مثلث تشکیل می‌شود.
• مثلث مذکور باید یک زاویه قائمه داشته باشد و حول یکی از دو ضلع کوتاهش یا همان ضلع‌های غیر وتری چرخش داده شود.
• ضلع وتر مثلث حول محور مخروط می‌چرخد.
• در مخروط قائم فاصله همه نقاط روی قاعده دایره‌ای از رأس مخروط یکسان است.
• در مخروط قائم محور مخروط بر مركز قاعده عمود است.

انواع مخروط

مخروط‌ها دو نوع قائم یا اریب را شامل می‌شوند. مخروط قائم به مخروطی گفته می‌شود که محور آن روی مرکز قاعده عمود باشد. همچنین در این مخروط فاصله تمام نقاط روی قاعده از راس مخروط با همدیگر برابر است.

با وجود این، در مخروط‌های اریب، محور مخروط روی مرکز قاعده عمود نیست و فاصله نقاط روی قاعده از راس مخروط با یکدیگر متفاوت است.

نکته مهم در مورد مخروط‌های قائم و اریب این است که حجم یک مخروط اریب با مساحت قاعده معین و ارتفاعی مشخص می‌تواند با حجم مخروطی قائم با همان مساحت و ارتفاع چگونه نقاط محوری را محاسبه کنیم؟ معین برابر باشد.

مساحت مخروط

برای محاسبه مساحت مخروط باید مساحت جانبی مخروط را با مساحت قاعده آن جمع کنیم. در ابتدا نحوه محاسبه مساحت جانبی مخروط را بررسی می‌کنیم.

مساحت جانبی مخروط

برای محاسبه اندازه سطح جانبی مخروط می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم.

Sجانبی = π × r × s

در فرمول فوق، S نماد مساحت جانبی، π نماد عدد پی و معادل ۳/۱۴ بوده و r و s به ترتیب شعاع قاعده و طول ضلع مخروط هستند.

محاسبه اندازه ضلع مخروط

برای محاسبه s یا ضلع مخروط می‌توانیم از رابطه فیثاغورس استفاده کنیم. در واقع، در مخروط‌های فوق می‌بینیم که شعاع قاعده، محور و ضلع مخروط مثلثی قائم الزاویه را با هم تشکیل می‌دهند.

بنابراین با آگاهی از اندازه دو ضلع از این مثلث می‌توان اندازه ضلع سوم را با رابطه فیثاغورس به دست آورد. با توجه به آن چه بیان کردیم، اندازه ضلع s در مخروط‌های قائم با فرمول زیر به دست می‌آید: شکل زیر را در نظر بگیرید:

مساحت کل مخروط

همان طور که اشاره کردیم،‌ مساحت کل مخروط از مجموع مساحت جانبی و مساحت قاعده آن به دست می‌آید.

پس از آشنایی با نحوه محاسبه مساحت جانبی مخروط، حال می‌توانیم با محاسبه مساحت قاعده آن که یک دایره است، مساحت کل شکل را به دست آوریم.

از آنجایی که با نحوه محاسبه مساحت دایره آشنا هستیم، پس فرمول مساحت قاعده مخروط را به شرح زیر داریم:

در فرمول فوق نیز S نماد مساحت قاعده، π نماد عدد پی و معادل ۳/۱۴ و r شعاع قاعده مخروط است. به این ترتیب اگر مساحت قاعده را با مساحت جانبی مخروط جمع کنیم، فرمول مساحت کل آن به صورت زیر خواهد بود:

در فرمول فوق، A نماد مساحت کل مخروط، π نماد عدد پی و r و s به ترتیب شعاع قاعده و طول ضلع مخروط هستند. برای درک بهتر کاربرد این فرمول در ادامه چند مثال را حل می‌کنیم.

مثال: مساحت کل مخروط‌های زیر را به دست آورید؟

برای محاسبه مساحت شکل هندسی مخروط، ابتدا مساحت قاعده مخروط‌ ها و سپس اندازه مساحت جانبی آن‌ها را محاسبه کرده و مقادیر را با هم جمع می‌کنیم.

همچنین برای محاسبه مقادیر s در هر دو مخروط می‌توانیم با در دست داشتن اندازه دو ضلع مثلث قائم الزاویه، مقدار ضلع سوم را از رابطه فیثاغورس محاسبه کنیم. بنابراین خواهیم داشت:

مثال: فرض کنید کلاهی مخروطی شکل برای جشن تولد تهیه کرده‌ایم. شعاع قاعده این کلاه ۸ سانتی متر و ارتفاع آن ۶ سانتی متر است. حال میخواهیم رویه این کلاه را با روکشی رنگی بپوشانیم. برای این کار به چند سانتی متر مربع کاغذ رنگی نیاز داریم؟

برای حل این مسئله باید بتوانیم مساحت جانبی مخروط را محاسبه کنیم.

همان طور که در این مطلب آموزش دادیم، با محاسبه اندازه ضلع مخروط از طریق رابطه فیثاغورس و جایگذاری مقادیر شعاع و اندازه ضلع در فرمول مساحت جانبی می‌توانیم مقدار کاغذ رنگی مورد نیاز را به دست آوریم. بنابراین خواهیم داشت:

کلام آخر:

در این مقاله به مبحث مساحت مخروط و مثال کاربردی آن پرداختیم.اگر برای بدست آوردن مساحت دیگر اشکال هندسی نیازمند راه حل آسان هستید پیشنهاد رایاد به شما مطالعه مقاله مساحت و محیط اشکال هندسی است.

Scatter Plot در اکسل

یک نمودار اسکتر (Scatter plot، نمودار XY، نمودار پراکندگی)، یک نمودار دو بعدیه که رابطه بین دو متغیر رو نشون میده. از این نمودار برای نمایش پراکندگی داده ها، مشاهده روابط بین متغیرها چگونه نقاط محوری را محاسبه کنیم؟ و … استفاده میشه. این نمودار خیلی شبیه نمودار Line بدون خط هست. از این رو خیلی وقت ها این نمودارها اشتباها بجای هم استفاده میشن و نتیجه درستی رو نمایش نمیدن. پس خیلی مهمه که تفاوت این دو نوع نمودار (line و Scatter) رو به خوبی بشناسیم و با توجه به نیازمون، نمودار رو به درستی انتخاب کنیم.

در یک نمودار پراکندگی، هر دو محور افقی و عمودی مقادیر عددی هستن. معمولا، متغیر مستقل بر روی محور x و متغیر وابسته بر روی محور y هستن. نمودار، داده هایی که از تقاطع مقادیر x و y، که در یک نقطه شکل گرفتن رو نشون میده.

یکی از اهداف نمودارهای پراکندگی نشون دادن قدرت ارتباط بین دو متغیر هست. هرچه نقاط بیشتر در امتداد یک خط مستقیم باشن، همبستگی اون متغیرها بیشتره.

شکل ۱ ـ نمونه یک نمودار پراکندگی یا نمودار اسکتر

چگونگی مرتب کردن داده ها برای یک نمودار پراکندگی

با تنوع زیاد نمودار ها در اکسل، ساخت یک نمودار پراکندگی فقط چند کلیک زمان میبره، اما قبلش لازمه که داده هامون رو بطور مناسب مرتب کنیم.

همونطور که قبلا گفتیم، نمودار پراکندگی رابطه بین دو داده کمی رو نشون میده. پس ما باید دو سری از داده های عددی رو در دو ستون متفاوت وارد کنیم.

برای راحتی در استفاده، متغیر مستقل باید در ستون سمت چپ (در حالت چپ به راست صفحه اکسل) قرار بگیره، چون این ستون قراره در محور x نشون داده بشه. متغیر وابسته (متغیری که با تغییر متغیر مستقل تحت تاثیر قرار میگیره) باید در ستون سمت راست (در حالت چپ به راست صفحه اکسل) قرار بگیره، و در محور y نشون داده میشه.

نکته: اگر ستون وابسته قبل از ستون مستقل بود، و هیچ راهی برای تغییر شیت وجود نداشت، میتونیم بصورت مستقیم محور x و y رو در نمودار جابجا کنیم.

در این مثال، ما میخوایم رابطه بین بودجه خرج شده برای تبلیغات در هر ماه (متغیر مستقل) رو با تعداد محصول فرخته شده در همون ماه (متغیر وابسته) بررسی کنیم. پس داده های خودمون رو طبق شکل زیر مرتب می‌کنیم:

شکل ۲ ـ جدول داده ها برای رسم نمودار پراکندگی

ایجاد نمودار پراکندگی در اکسل

داده های مربوط به هزینه های تبلیغات در برابر تعداد فروش محصول مورد نظر در ماه های مختلف رو داریم. برای رسم نمودار پراکندگی و طبق مراحل زیر پیش میریم:

1. دو ستون حاوی داده های عددی رو همراه با عنوان هاشون انتخاب می‌کنیم. در مثال ما این محدوده شامل سلول های B1:C13 هست.
2. از تب Insert و گروه Charts، روی آیکون نمودار Scatter کلیک می‌کنیم و نمودار مدنظرمون رو انتخاب می‌کنیم. برای ساخت یک نمودار پراکندگی کلاسیک، اولین گزینه رو انتخاب می‌کنیم.

شکل ۳ ـ ساخت نمودار پراکندگی کلاسیک

با انتخاب این گزینه، نمودار پراکندگی فورا به شیت ما اضافه میشه.

شکل ۴ ـ نمودار پراکندگی کلاسیک

در حال حاضر نمودار پراکندگی و نمایش رابطه بین هزینه تبلیغات و فروش محصول رسم شده. میتونیم برای نمایش تنظیمات بهتر، از قسمت Format تنظیمات دلخواه رو روی نمودار ایجاد کنیم.

انواع نمودار های پراکندگی در اکسل

به غیر از نمودار کلاسیک که در مثال بالا استفاده کردیم، چند نمونه دیگه هم در دسترس هستن:

• نمودار با خطوط منحنی و نشانگر (Smooth lines and markers)
• نمودار با خطوط منحنی (Smooth lines)
• نمودار با خطوط مستقیم و نشانگر (Straight lines and markers)
• نمودار با خطوط مستقیم (Straight lines)

نمودار حاوی خطوط، بهتره در مواقعی که نقاط داده ای کمتری داریم استفاده بشه. مثلا میتونیم برای چهار ماه اول از نمودار با خطوط صاف و نشانگر استفاده کنیم:

شکل ۵ ـ ساخت نمودار پراکندگی با خطوط صاف و نشانگر

نمودار های XY اکسل میتونن هر متغیر رو بصورت جداگانه هم نشون بدن. برای این کار باید سه ستون حاوی داده رو انتخاب کنیم، ستون سمت چپی با مقادیر متنی، و دو ستون دیگه با مقادیر عددی.

در مثال ما، نقاط آبی هزینه تبلیغات، و نقاط نارنجی تعداد فروش هستن. در واقع محور افقی، بصورت خودکار، از ۰ شروع میشه و دو ستون عددی، در محور عمودی نمایش داده میشن.

نکته:
جایی که افراد دچار اشتباه میشن، اینجاست و بجای انتخاب نمودار خطی، نمودار اسکتر انتخاب میکنن. برای اینکه تفاوت این دو نمودار رو به خوبی و عمیقا درک کنید، حتما مقاله مربوط به نمودار پراکندگی و خطی رو مطالعه کنید.

شکل ۶ ـ نمودار اسکتر برای هر متغیر بصورت جداگانه

برای دیدن تمام نمونه های موجود از نمودار پراکندگی، روی آیکون نمودار Scatter، روی نوار کلیک کرده و گزینه More Scatter Charts رو انتخاب می‌کنیم. در پنجره باز شده، به قسمت X Y (scatter) میریم و نمونه مدنظر که بهترین نمایش گرافیکی از داده های ما رو داره، انتخاب می‌کنیم.

شکل ۷ ـ انتخاب نوع نمودار پراکندگی از پنجره Insert Chart

نمودار اسکتر و همبستگی

برای تفسیر درست نمودار پراکندگی، باید چگونگی مرتبط شدن دو متغیر به هم رو بفهمیم. در کل، سه نوع ارتباط وجود داره :

ارتباط مثبت: همینطور که متغیر X افزایش پیدا میکنه، همزمان متغیر Y هم افزایش پیدا میکنه. بعنوان مثال میشه به میزان ساعت مطالعه یک دانش آموز و نمرات اون اشاره کرد.

ارتباط منفی: با افزایش متغیر X، متغیر Y کاهش پیدا میکنه. بعنوان مثال به میزان غیبت دانش آموز سر کلاس ها و نمرات اون میشه اشاره کرد.

بدون ارتباط: در این موارد هیچ گونه ارتباطی بین دو متغیر وجود نداره و نقاط در سراسر محیط نمودار پراکنده شدن. بعنوان مثال میشه به قد دانش آموز و نمرات اون اشاره کرد، که مشخصا هیچ ارتباطی به هم ندارن.

شکل ۸ ـ انواع ارتباط دو متغیر با استفاده از نمودار اسکتر

تنظیمات نمودار پراکندگی در اکسل

درست مثل همه نمودار های دیگه، تقریبا تمام عناصر یک نمودار پراکندگی قابل تغییر و Customize کردن هست. میتونیم به راحتی عنوان نمودار و عنوان محورها رو تغیر بدیم. gridlineها رو مخفی کنیم، رنگ دلخواه برای نمودار انتخاب کنیم و …

تنظیم میزان محور ها (کاهش فضای سفید)

ممکنه نقطه های نمودار ما در یک گوشه از نمودار متمرکز شده باشن، به همین دلیل برای اینکه جزئیات نمودار با وضوح بیشتری نمایش داده بشه، باید از طریق تغییر اندازه های محور عمودی و افقی فضاها خالی نمودار رو حذف کنیم.

برای کاهش فضاهای خالی نمودار (تغییر اندازه های محور های عمودی و افقی)، طبق مراحل زیر پیش میریم:

1. روی محور X راست کلیک کرده، و گزینه Format axis رو انتخاب می‌کنیم.
2. در پنل Format axis، حدود مینیمم و ماکزیمم رو بطور مناسب تعیین می‌کنیم.
3. همچنین میتونیم واحد بزرگ و کوچک که فاصله بین اعداد روی محورها رو کنترل می‌کنه رو هم تعیین کنیم.

شکل ۹ـ تنظیمات محور عمودی و افقی در نمودار اسکتر

اگر بخوایم که فضای بین نقطه ها و لبه های بالا و پایین نمودار رو هم تغییر بدیم، باید همین تنظیمات رو به روی محور عمودی Y هم انجام بدیم. گزینه Auto پیشفرض نمودار د راکسل هست و بصورت خودکار، مشخصات محورهای عمودی و افقی تعیین میشه.

اضافه کردن برچسب به نقطه های نمودار پراکندگی

وقتی یک نمودار پراکندگی با مقدار کمی داده های عددی داریم، ممکنه بخوایم نقطه ها برچسب داشته باشن تا نمودار گویاتر بشه. در مثال بالا، میخوایم عناوین ماه رو به عنوان برچسب نمودار تعیین کنیم. برای این کار طبق مراحل زیر پیش میریم:

1. نمودار رو انتخاب کرده و روی دکمه Chart Elements کلیک می‌کنیم.
2. تیک گزینه Data Labels رو زده و روی فلش کوچک کلیک می‌کنیم و از منو باز شده More Options رو انتخاب می‌کنیم.

شکل ۱۰ـ برچسب زدن نقاط در نمودار پراکندگی در نمودار اسکتر

1. در پنل Format Data Labels، به تب Label Options رفته (آخرین تب)، و تنظیمات رو به ترتیب زیر انجام میدیم:

• گزینه Value from box‌رو تیک میزنیم و محدوده ای که میخوایم داده هاش برچسب بگیرن رو انتخاب می‌کنیم (در این مثال ۱۳A2:A).
• اگر بخوایم فقط نام ها نمایش داده بشن، تیک گزینه X Value و/یا Y Value رو برمیداریم تا داده های عددی نمایش داده نشن.
• مکان برچسب رو مشخص می‌کنیم. در مثال ما بالا (Above) نقطه قرار میگیره.

شکل ۱۱ـ تنظیمات Format Data Labels

نتیجه چنین خواهد شد:

شکل ۱۲ـ نمایش داده های دلخواه به عنوان برچسب نمودار

نکته: چگونگی درست کردن برچسب های روی هم افتاده!

وقتی دو یا چند نقطه خیلی نزدیک به هم باشن، ممکنه برچسب هاشون روی هم بیفتن. برای درست کردن این مشکل، چگونه نقاط محوری را محاسبه کنیم؟ روی برچسب ها کلیک کرده و بعد روی برچسبی که روی دیگری افتاده کلیک میکنیم تا فقط اون انتخاب بشه. نشانگر موس رو روی برچسب میبریم تا وقتی که به یک فلش چهار جهتی تبدیل بشه، و بعد برچسب رو به مکان دلخواه میکشونیم. برای اینکه برچسبف اتصالش رو به نقطه مورد نظر نشون بده و با بقیه برچسب ها قاطی نشه، باید شکل باکس برچسب رو عوش کنیم. برای این کار روی یک لیبل کلیک راست میکنیم و مطابق شکل ۱۳ از بخش Change Data Label Shape شیپ مورد نظر رو انتخاب میکنیم.

شکل ۱۳- تغییر شکل برچسب نمودار

نکته:
اضافه کردن برچسب و سایر اجزای نمودار (گزینه chart element) از تب Design و قسمت chart layouts، گزینه Chart element نیز در دسترس هست.

اضافه کردن Trendline و Equation

برای نمایش بهتر رابطه بین دو متغیر، میتونیم یک trendline در نمودار پراکندگی رسم کنیم.

برای این کار روی یک نقطه در نمودار راست کلیک کرده و گزینه Add Trendline رو از منو باز شده انتخاب می‌کنیم.

شکل ۱۴ ـ رسم Trendline نمودار پراکندگی

اکسل یک خط که تا حد ممکن به همه نقاط نزدیکه رو میکشه. برای همین نقاط بالا و پایین خط یکسانن.

همچنین میتونیم معادله ریاضی اون خط رو برای درک بهتر رابطه دو متغیر نشون بدیم. برای این کار باید گزینه Display Equation رو در قسمت Chart و در پنل Format Trendline که فورا بعد از کشیدن اون خط در سمت راست صفحه اکسل ظاهر میشه، تیک بزنیم.

شکل ۱۵ ـ خط و معادله نقاط نمودار پراکندگی در نمودار اسکتر

چگونگی جابجا کردن محور های X و Y در نمودار پراکندگی

همونطور که گفته شد، یک نمودار پراکندگی متغیر مستقل رو در نمودار افقی، و متغیر وابسته رو در نمودار عمودی نشون میده. در صورت نیاز به تغییر محور عمودی و افقی، اگر به هردلیلی ستون های داده ها قابل جابجایی نبودن، میتونیم مستقیما محور های X و Y رو در نمودار جابجا کنیم. برای این کار طبق مراحل زیر پیش میریم:

1. نمودار را انتخاب کرده و از تب Design گزینه Select Data رو میزنیم.
2. در پنجره Select Data Source، روی دکمه Edit کلیک می‌کنیم.

شکل ۱۶- جابجا کردن محور عمودی و افقی

1. مقادیر محور های X و Y رو جابجا می‌کنیم. یعنی محدوده C2:C13 در محور افقی (X)قرار میگیره و محدوده D2:D13 در محدوده عمودی (Y).

شکل ۱۷ ـ جابجایی مقادیر محور های X و Y

1. دوبار روی Ok کلیک کرده تا دو پنجره بسته بشن.

در نتیجه، محورهای افقی و عمودی نمودار جابجا شدن.

شکل ۱۸ ـ جابجا شدن محور های نمودار پراکندگی در نمودار اسکتر

حسنا خاکزاد 128

فارغ التحصیل لیسانس مهندسی صنایع، ارشد مدیریت صنعتی از دانشگاه تربیت مدرس و عاشق اکسل هستم. از سال 1388 که ترم 2 لیسانس بودم، به توصیه استاد مشاورم شروع به خوندن اکسل بصورت حرفه ای کردم و همچنان در حال مطالعه و یادگیری و البته آموزش به بقیه هستم.

نقطه سر به سر چیست و نحوه محاسبه آن

یا اینکه نام نقطه سر به سر را در دانشگاه شنیده اید ولی روش و نحوه محاسبه نقطه سر به سر را نمی دانید! بهترین قیمتی که می توانید برای محصولاتتان تعیین کنید و در عین حال کسب وکار سودآوری داشته باشید، چه میزان خواهد بود؟

برای پاسخ به این سوالات و چندین سوال دیگر در مورد نقطه سر به سر، فواید و محدودیت های آن کافیست تنها چند دقیقه زمان بگذارید و این مقاله را تا انتها بخوانید. به علاوه اگر از طرفداران ابزارهای کاربردی کسب وکار و یادگیری مفاهیم به شکل خودآموز می باشید، در انتهای این مقاله ابزاری ویژه را به شما معرفی خواهیم کرد.

نقطه سر به سر (Break-Even Point) به معنای نقطه ای است که در آن مجموع هزینه ها با مجموع درآمدها برابر می شود. این عدد به کمک سطح و تعداد محصولات یا خدمات تولید شده در طول فرایند تولید یا یک دوره مالی تعیین می شود که در آن درآمد ایجاد شده با هزینه های رخ داده برابر است و درآمد خالص در آن دوره صفر است.

به عنوان مثال نقطه سر به سر یک کسب وکار بر مبنای سطح تولید ممکن است 5000 واحد محصول باشد و بر مبنای دوره مالی ممکن است 6 ماه پس از شروع فروش محصول در نظر گرفته شود. ما در این مقاله به صورت خاص به نقطه سر به سر بر مبنای تعداد واحدهای محصول یا خدمت تولید و ارائه شده می پردازیم.

به زبان ساده نقطه سر به سری یعنی سازمان نه پولی به دست می آورد و نه از دست می دهد بلکه به سر به سری رسیده است.

اولین هدف هر شرکتی دستیابی به نقطه سر به سر در کمترین زمان ممکن و با بیشترین کارآیی است. در این نقطه ضرر متوقف می شود و سودآوری شروع می شود. نقطه سر به سر به شما کمک خواهد کرد تا بفهمید کسب وکار شما در صورت چه میزان کاهش در فروش همچنان سر پا باقی می ماند. به کمک این تحلیل حتی می توانید تغییراتی که با تغییر قیمت محصول، در سود اتفاق می افتد، را تشخیص دهید.

با محاسبه نقطه سر به سر می توانید اهداف فروش خود را با توجه به ظرفیت بازار تعیین کنید و میزان فروش برای دستیابی به بیشترین سود ممکن حتی پس از آن را تعیین نمایید.

کاربرد نقطه سر به سر در کسب وکار

هر کسب و کاری به دنبال رسیدن به نقطه سر به سر به سریع ترین شکل ممکن و با بیشترین کارآیی است. این نقطه، میزانی از فروش است که در آن ضرر متوقف و سودآوری آغاز می شود.

محاسبه نقطه سر به سر به خصوص برای افرادی که پیش زمینه خاصی در رشته های مدیریتی ندارند عموما کار دشواری است، اما نگران نباشید امروز شما می توانید این عدد را به کمک روش ها و ابزارهای مختلف محاسبه نقطه سر به سر در اکسل به سادگی پیدا کنید. محاسبه نقطه سر به سر در کسب وکار کاربردهای زیر را دارد:

• یکی از کاربردهای نقطه سر به سر، تعیین ضرر و زیانی است که یک کسب و کار می تواند در صورت افت رقم فروش تحمل کند.
• از این مفهوم برای سنجش تغییر در سودآوری، در صورت جایگزینی اتوماسیون که یک هزینه ثابت است، با نیروی کار که یک هزینه متغیر است، استفاده می شود.
• از نقطه سر به سر برای تشخیص تغییراتی که در میزان سود در صورت تغییر در قیمت محصولات یا خدمات شرکت ایجاد می شود، استفاده خواهد شد.
• در نهایت نقطه سر به سر به تعیین ظرفیت باقیمانده پس از رسیدن به آن کمک خواهد کرد. دانستن این موضوع به شرکت کمک می کند تا در مورد حداکثر سود قابل دسترسی آگاهی بیابد.

عواملی که منجر به افزایش نقطه سر به سری می شوند:

• افزایش فروش، از آن جهت که شرکت برای پاسخگویی به نیاز مخاطبان و تقاضای بازار باید بر تولید خود بیفزاید که تبعا منجر به افزایش هزینه تولید می شود.
• تعمیر تجهیزات و دستگاه ها،کاهش ظرفیت تولید، منجر به فروش محصولات کمتر و در نتیجه درآمد زایی کمتر شده و همچنین هزینه تعمیرات نیز منجر به افزایش نقطه سر به سری می شود.
• افزایش هزینه های تولید، این هزینه ها ممکن است شامل افزایش هزینه مواد اولیه، اجاره محل، افزایش حقوق کارکنان و … باشند.

عواملی که منجر به کاهش نقطه سر به سری می شوند:

• افزایش قیمت محصول یا خدمت
• تحلیل حاشیه سود و فروش محصولات با بیشترین حاشیه سود
• قیمت گذاری و طرح های ترفیعی
• برونسپاری تولید
• تحلیل هزینه های ثابت و متغیر

مزایای تحلیل و محاسبه نقطه سر به سر

نقطه سر به سر فواید و کاربردهای فراوان و متفاوتی در کسب وکارهای گوناگون دارد. برخی از مزایای محاسبه نقطه سر به سر در ادامه آورده شده است :

• مفهوم نقطه سر به سر تخمین دقیقی از تعداد واحدهای مورد نیاز که باید به فروش برسند تا سازمان واقعا شروع به سودآوری نماید را به شما ارائه می کند.
• این نقطه به شما کمک خواهد کرد تا هزینه های ثابت و متغیر را شناسایی و میان آنها هماهنگی ایجاد نمایید.
• این نقطه یک ابزار اندازه گیری است که برای تعیین اهداف فروش، به شکل موثر مورد استفاده قرار می گیرد.
• نقطه سر به سر می تواند پیامدهایی که یک هزینه یا افزایش کارآیی بر میزان سودآوری یک کسب وکار دارند، پیش بینی کند.
• این معیار می تواند به شرکت در محاسبه سود (ضرر) شکل گرفته در سطوح مختلف فروش و تولید کمک کند.
• سازمان ها می توانند از آن برای ارزیابی میزان تقاضای آتی استفاده کنند. اگر رسیدن به نقطه سر به سری بیشتر از بازه ی زمانی تعیین شده بر اساس تقاضای تخمین زده شده باشد، این یعنی” ضرر” و شرکت احتمالا باید تولید را متوقف کند یا تغییراتی اساسی برای افزایش تقاضا انجام چگونه نقاط محوری را محاسبه کنیم؟ دهد.
• نقطه سر به سر کمک می کند تا شما اثرات احتمالی تغییر در قیمت فروش محصول یا خدمت را پیش بینی نمایید.
• اطلاعات به دست آمده از تجزیه و تحلیل نقطه سر به سر در تصمیم گیری های مهم مدیریتی به کمک شما می آیند. به عنوان مثال می توان به اقدام برای دریافت وام، قیمت گذاری محصول (خدمت) یا شرکت در مناقصه ها و مزایده ها اشاره کرد.

محدودیت های تحلیل و محاسبه نقطه سر به سر

توجه کنید که تحلیل نقطه سر به سر مانند هر تحلیل مالی دیگری دارای محدودیت ها و معایبی نیز می باشد. در ادامه به برخی از محدودیت های تحلیل آن می پردازیم:

• نقطه سر به سر بر مبنای این فرض محاسبه می شود که درآمد و هزینه ها با تولید تغییر نخواهند کرد.
• در تجزیه و تحلیل نقطه سر به سر فرض می شود که فروش و تولید همواره ثابت هستند که در عمل غیر ممکن است.
• یکی از محدودیت های محاسبه نقطه سر به سر با این روش، این است که از این تحلیل تنها برای یک محصول یا خدمت می توان استفاده کرد و اگر شرکتی چندین محصول تولید کند در محاسبه نقطه سر به سر با دردسرهایی مواجه خواهد شد و لازم است از مدل های دیگری استفاده کند.
• این فرض که قیمت فروش فارغ از سطح و میزان تولید همواره ثابت خواهد ماند، غیرعملی است.
• ایجاد جداول سر به سری و استخراج نقطه سر به سر یک فرایند زمانبر است. (ما با ارائه بسته تحلیل نقطه سر به سر در اکسل، زمان مورد نیاز برای تجزیه و تحلیل و محاسبه نقطه سر به سر را برای شما به حداقل رسانده ایم!)
• گاهی اوقات برخی از سازمان ها با بیش از اندازه در نظر گرفتن اهداف فروش پس از محاسبه آن به کمک فرمول نقطه سر به سر منجر به افزایش استرس در میان کارکنان خود می شوند.

حال چگونه نقاط محوری را محاسبه کنیم؟ که فهمیدید نقطه سر به سر چیست و با مزایا، معایب و کاربردهای مختلف آن آشنا شدید، نوبت به محاسبه و تحلیل نقطه سر به سر می رسد.

نمودار نقطه سر به سر

یکی از روش های پرکاربرد در نمایش مفهوم نقطه سر به سر به ویژه در طرح های توجیهی کسب وکار که در آن حجم زیادی از اطلاعات به افراد ارائه می شود، استفاده از نمودارها و تصاویر است.

البته که جزییات و جداول ریز محاسبه نقطه سر به سر در اکسل نیز از اهمیت فراوانی برخوردار است، ولی اولین چیزی که در کوتاه ترین زمان ممکن توجه مخاطب را جلب کرده و میزان نقطه سر به سر را به ساده ترین شکل ممکن نشان می دهد، نمودار نقطه سر به سر است.

نمودار نقطه سر به سری، نموداری است که در آن حجم و میزان فروشی که در آن کل هزینه ها با درآمد فروش برابر خواهد شد، نشان داده می شود. نمودار نقطه سر به سر شامل یک محور افقی است که روی آن تعداد یا حجم محصول یا خدمت نشان داده می شود و دارای یک محور عمودی با عنوان درآمد/هزینه است.

مطابق نمودار نقطه سر به سر زیر، قبل از نقطه سر به سر ضرر و زیان و بعد از آن سود اتفاق می افتد. از این نمودار برای نمایش توانمندی کسب وکار در کسب سود با توجه به ساختار هزینه ای فعلی آن استفاده می شود.

نحوه محاسبه نقطه سر به سری

نقطه سر به سری بر مبنای واحد کالا یا خدمات تولید شده در ساده ترین حالت بر اساس فرمول زیر محاسبه می شود:

هزینه های ثابت = نقطه سر به سر

(هزینه های متغیر – قیمت کالا)

براین اساس لازم است قیمت های مختلف را برای کالا یا خدمات خود در نظر گرفته و با توجه به هزینه ثابت و متغیر مشخص کنید با تولید و فروش چه تعداد کالا به نقطه سر به سری خواهید رسید.

در طول فرآیند محاسبه نقطه سر به سر، علاوه بر تخمین تعداد کالای مورد نیاز جهت برابری میزان کل فروش با کل هزینه، آنچه برای مدیران برند و محصول و صاحبان کسب و کارها اهمیت دارد، امکان مقایسه سناریوهای مختلف در رسیدن به آن است.

به عنوان مثال مدیران بازاریابی بر اساس استراتژی بازاریابی خود در مرحله لانچ محصول به دنبال قیمت گذاری محصول هستند، حال با استفاده از تحقیقات بازار رنجی از قیمت را برآورد کرده اند اما با استفاده چگونه نقاط محوری را محاسبه کنیم؟ از تحلیل و محاسبه نقطه سر به سر می توانند مناسب ترین قیمت را انتخاب کنند، به همین دلیل وجود ابزاری برای تحلیل نقطه سر به سری می تواند کمک شایانی به تصمیم گیری مدیران بازاریابی و برندینگ کند.

از این رو برای محاسبه نقطه سر به سر از فایل های اکسل فرمول بندی شده استفاده میشود تا با تغییر داده های ورودی امکان بررسی نتایج مختلف برای تصمیم گیرندگان فراهم شود تا استراتژی و سناریوهای تولیدی و فروش خود را به صورت کارآمد مشخص کنند.

ایجاد جداول سر به سری و استخراج نقطه سر به سر یک فرایند زمانبر و در برخی موارد کمی پیچیده است. از اینرو پیرو نیاز شناسایی شده در بازار، به خصوص در کسب و کارهای کوچک و برندهایی که به دنبال لانچ محصول هستند، بسته ایی تحت عنوان ” ابزار تحلیل نقطه سر به سر بر اساس تعداد واحد تولید شده ” آماده کرده ایم، تا زمان مورد نیاز برای تجزیه و تحلیل نقطه سر به سر را برای شما به حداقل برسانیم و با ایجاد امکان محاسبه و مقایسه حالت های مختلف شما را در امر تصمیم گیری یاری دهیم.

این بسته، شامل فایل اکسل فرمول بندی شده جهت محاسبه نقطه سر به سر در اکسل به همراه خروجی های نموداری، و راهنمای استفاده از فایل به زبان ساده می باشد، که به شما کمک خواهد کرد تا بتوانید در کمترین زمان نقطه سر به سر کسب وکار خود را براساس واحد تولیدی محاسبه نمایید.